周期信号的频谱分析

       方波是一种常见的信号，其时域、频域之间的关系很明确，且具有一定的代表性。此处以方波为例，对周期信号的频谱进行简单的分析。

       信号的频谱可分为实部谱、虚部谱、幅值谱、相位谱、功率谱等。对信号作频谱分析既可以用各种频谱分析仪，也可以采用信号分析软件，其数学基础都是傅里叶变换。

①三角形式的傅里叶级数

       任何一个周期函数x(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即

式中，为傅里叶系数; 为各谐频的频率。

       必须指出，并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。在数学中已经描述，被展开的级数x(t)应满足如下的充分条件( Driclet条件):

1)在一周期内，信号是绝对可积的，即

2)在一周期内，函数的极大值和极小值的数目应是有限个。

3)在一周期内，如有间断点，则间断点的数目应是有限个，而且当t从不同方向趋近间断点时，函数应具有两个不同的有限的极限值。

实际进行信号分析时，不可能去计算无限多次谐波分量，而只能取有限项来近似地表示函数x(t)，这就要出现误差:

式中，为误差函数，代表所有n次以上谐波分量之和。所取的级数项越多，即n值越大，则其误差就越小。

例1  以图3-11所示方波为例，说明信号的傅里叶级数表示及其误差。

  该信号用函数式表示: 

  计算结果：

因此，该方波在区间(0,T)内可表示为

一般情况下，取的项数n越多，误差越小。此处以方波为例进行说明，图3-12[7]分别给出了取第一项、前两项和前三项时所对应的图形。如果仅取第一项，均方误差；若取前两项，则;取前三项，则。

在选取傅里叶级数的项数时，如果信号不连续，则存在一种现象：所选取的项数越多，所合成的波形中的峰越靠近f(t)不连续点。当所取项数足够大时，该峰趋于一常数，约为跳变值的9%，并从不连续点开始以振荡的形式逐渐衰减。这种现象称为吉布斯现象(Gibbs phenomenon)[7]。

②周期矩形脉冲信号的频谱

设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为 ，脉冲高度为E，重复周期为T，如图3-13所示[7]。设该信号在一个周期(-T/2

根据

计算结果：

这样周期矩形信号的三角形傅里叶级数为

若给定，T，E,就可以求出直流分量，基波和各次谐波分量的幅度：

将各分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标示出来，就是信号的频谱图，如图3-14所示。

综上所述，可以看到周期矩形脉冲频谱具有如下特点:

1)周期矩形脉冲的频谱是离散的线状频谱，谱线只出现在的整数倍频率，即各次谐波频率上。两条谱线的间隔为(等于2π/T)。谱线间隔与T成正比，当脉冲重复频率增大时，谱线将靠近。

2)各谱线的幅度包络线按照抽样函数的规律变化。当为π的整数倍，即时，谱线的包络线经过零点。当时，谱线的包络线为极值点。

3)周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线。随着频率的增高，谱线幅度变化的总趋势呈收敛状，但其主要能量集中在第一零点以内。实际上，在允许一定失真的条件下，可以舍弃的频率分量，而把这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作B或Bf, ,或。

由此可见，频带宽度B只与脉宽有关，而且两者之间为反比关系。这种信号的频宽与时宽成反比的性质是信号分析中最基本的特性。

4)直流、基波及各次谐波分量的幅度正比于脉宽，反比于周期T;并且当周期增大时，谱线变密。

5)如果将正负频率的谱线都画出，则每个分量的幅度一分为二，只有把正、负频率上对应的两条谱线加起来才代表一个分量的幅度。应当指出，负频率的出现完全是数学运算的结果，并无任何物理意义。

以上特点是由分析周期矩形脉冲频谱得到的，基本上也适用于其他周期信号。

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