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周期信号的频谱分析

来源: | 发布日期:2022-06-23

       方波是一种常见的信号,其时域、频域之间的关系很明确,且具有一定的代表性。此处以方波为例,对周期信号的频谱进行简单的分析。

       信号的频谱可分为实部谱、虚部谱、幅值谱、相位谱、功率谱等。对信号作频谱分析既可以用各种频谱分析仪,也可以采用信号分析软件,其数学基础都是傅里叶变换。

三角形式的傅里叶级数


       任何一个周期函数x(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示,即


013


式中,014为傅里叶系数; 015为各谐频的频率。

       必须指出,并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。在数学中已经描述,被展开的级数x(t)应满足如下的充分条件( Driclet条件):

1)在一周期内,信号是绝对可积的,即


016


2)在一周期内,函数的极大值和极小值的数目应是有限个。

3)在一周期内,如有间断点,则间断点的数目应是有限个,而且当t从不同方向趋近间断点时,函数应具有两个不同的有限的极限值。

实际进行信号分析时,不可能去计算无限多次谐波分量,而只能取有限项来近似地表示函数x(t),这就要出现误差:


017


式中,018为误差函数,代表所有n次以上谐波分量之和。所取的级数项越多,即n值越大,则其误差就越小。

例1  以图3-11所示方波为例,说明信号的傅里叶级数表示及其误差。


019

  

  该信号用函数式表示: 


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  计算结果:


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因此,该方波在区间(0,T)内可表示为


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一般情况下,取的项数n越多,误差25越小。此处以方波为例进行说明,图3-12[7]分别给出了取第一项、前两项和前三项时所对应的图形。如果仅取第一项,均方误差26;若取前两项,则27;取前三项,则28

在选取傅里叶级数的项数时,如果信号不连续,则存在一种现象:所选取的项数越多,所合成的波形中的峰越靠近f(t)不连续点。当所取项数足够大时,该峰趋于一常数,约为跳变值的9%,并从不连续点开始以振荡的形式逐渐衰减。这种现象称为吉布斯现象(Gibbs phenomenon)[7]。


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②周期矩形脉冲信号的频谱

设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为30 ,脉冲高度为E,重复周期为T,如图3-13所示[7]。设该信号在一个周期(-T/2


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根据


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计算结果:


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这样周期矩形信号的三角形傅里叶级数为


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若给定30,T,E,就可以求出直流分量,基波和各次谐波分量的幅度:


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将各分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标示出来,就是信号的频谱图,如图3-14所示。



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综上所述,可以看到周期矩形脉冲频谱具有如下特点:

1)周期矩形脉冲的频谱是离散的线状频谱,谱线只出现在38的整数倍频率,即各次谐波频率上。两条谱线的间隔为38(等于2π/T)。谱线间隔与T成正比,当脉冲重复频率增大时,谱线将靠近。

2)各谱线的幅度包络线按照抽样函数40的规律变化。当39为π的整数倍,即41时,谱线的包络线经过零点。当42时,谱线的包络线为极值点。

3)周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线。随着频率的增高,谱线幅度变化的总趋势呈收敛状,但其主要能量集中在第一零点以内。实际上,在允许一定失真的条件下,可以舍弃43的频率分量,而把44这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作B或Bf, 45,或46

由此可见,频带宽度B只与脉宽30有关,而且两者之间为反比关系。这种信号的频宽与时宽成反比的性质是信号分析中最基本的特性。

4)直流、基波及各次谐波分量的幅度正比于脉宽30,反比于周期T;并且当周期增大时,谱线变密。

5)如果将正负频率的谱线都画出,则每个分量的幅度一分为二,只有把正、负频率上对应的两条谱线加起来才代表一个分量的幅度。应当指出,负频率的出现完全是数学运算的结果,并无任何物理意义。

以上特点是由分析周期矩形脉冲频谱得到的,基本上也适用于其他周期信号。




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