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频谱分析常用定理

来源: | 发布日期:2022-06-23

       频谱分析中经常要用到一些频谱定理,其实质是傅里叶变换的某些性质,它反映了信号同其频谱之间的基本关系,常用的频谱定理包括[6]:

(1)线性叠加定理   

如果x(t)和y(t)分别有傅里叶变换X(f)和Y(f),则它们的和x(t)+y(t)有傅里叶变换X(f) + Y(f),如图3-7所示。


(2)对称或对偶定理   

若时域函数x(t)对应频谱为F(f),即x(t)⟷ F(f),则有 


001


(3)时间展缩定理    

如果x(t)的傅里叶变换是F(f),则x(kt)的傅里叶变换对为


002


       在科学技术的许多领域,傅里叶变换的时间尺度变化这一性质为大家所熬悉,如图3-8所示,时间尺度扩展(或压缩)h倍,相应于频率尺度压缩(或打辰)h倍。应当指出,当时间尺度扩展时,不仅频率尺度缩小,而且频率域里的垂直幅度增大,使曲线下的面积保持不变。在用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的频谱分析中,这是一个具有实用价值的方法。


003

a)时间没有扩展    b)时间放慢2倍,k=1/2   c)时间放慢4倍,k=1/4


(4)频率展缩定理   

如果F(f)的傅里叶变换是x(t),k是实数,则F(kf)的傅里叶变换可由下面傅里叶变换对给出:

与时间尺度改变相类似,频率尺度扩展(或压缩)k倍,将导致时间尺度压缩(或扩展)k倍。这个效应如图3-9所示。当频率尺度扩展时,时间函数的幅度就增大。


004


(5)时间位移——时移定理   

如果x(t)的自变量t被移动一个常量005,则可


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a)频率没扩展  b)频率展缩为1/2,k=1/2   c)频率展缩为1/4,k=1/4

得到


007


这个变换对的图解如图3-10所示。可以看出,由于时间位移而引起了相角008的变化,即


009

010


图3-10时间位移性质(续)


   a)没有时移时


012


图3-10时间位移性质(续)


b)时移45°时   c)时移90º 时   d)时移180°时

       应该指出,时间位移并不改变傅里叶变换频域幅值的大小。

 


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