焊接精密度0.01mm

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傅里叶变换与快速傅里叶变换

来源: | 发布日期:2022-06-20


任何形状的信号都可以视作无限个不同频率的正弦交变信号的叠加,在数学上用傅里叶序列来表述。假设有一周期信号x(t) ,其周期为T,那么它的傅里叶序列为


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式中,02 03 04 为傅里叶系数 05 为各次谐波的频率。

常规的超声检测信号一般可认为是有限时间的瞬态信号[2],而对于某一瞬时态信号x(t),可设定其周期T趋向于无穷大,这时序列可以写作:


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这里傅里叶系数变为连续的频率函数:


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(3-5) 即是著名的里叶变 ,式(3-4)是傅里叶反变换,其中 代表x(f) 为一复函数  幅- 频和相-频关系为


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在超声检测中,幅- 频关系表示的是超声回波信号声压随频率变换的关系,而相-频关系则表示的是被检测材料对不同频率超声波的滞后效应。

如果将信号x(t) A/D采样变成数字信号序列x(n),则对照式(3-5)可得出其离散 傅里叶变换( Discreta Fourier Transform 简称DFT):

 

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式中,nk为序列号; N为数字信号序列的点数。

为了减少运算次数,缩短运算时间,1965 年诞生了一种计算DFT的新方法,称为FFT算法。由式(3-8)可知,用标准的DFT法计算所有的Y(k)时,对于NY(k) 中的每一个,必须作11 N次复数乘加运算,则运算整个序列需要的总运算量为N2次复数乘加运算。由于一次复数 乘加等于四次实数乘加,因此,对于大的N值,运算工作量将是相当大的。

FFT是把整个序列分解成若干较短的序列作DFT计算,用以代替计算原始序列的DFT。只要计算出较短序列的DFT,然后通过巧妙的办法把它们合并起来,就可得到整个序列的DFT。由于FFT使傅里叶变换的运算速度提高了两个数量级,从而带动数字信号处理方法在振动、声学及若干领域获得 普遍应用。

FFT的实现方式有三种,即通过通用计算机加FFT软件、专用硬件或数字信号处理器(DSP)加软件来实现。

用软件在通用计算机上实现FFT具有通用性强、额外投资少等优点,缺点是运算速度慢。硬件FFT 指的是用乘法累加器实现蝴蝶形运算,用控制电路实现对FFT 运算的控制(如循环等)。其优点是运算速度快,但缺乏通用性。目前多用于对实时性要求较高的水声、雷达等专业领城。借助数字信号处理器 (DSP) 以及汇编语言实现FFT运算,是一种软、硬件相结合的信号处理方式,不仅速度快, 而且通用性好,目前成为振动、声学等领城中信导处理的主要工具。


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